Jacobi sanısı

Üç hafta önce 80 yıldır açık olan bir matematik problemi yapay zeka desteğiyle çözüldü. Levent Alpöge, Fable yapay zekasını kullanarak ünlü Jacobi sanısının doğru olmadığını göstermiş oldu. Kısaca problemden bahsedip, önemini anlatmaya çalışalım.

Sanı 1. (Jacobi Sanısı). Diyelim ki

değişkenli polinomsal bir fonksiyon olsun. Ayrıca F’nin Jacobisi, det D F sıfır olmayan bir sabit olsun. O zaman F tersinirdir.

Önermedeki ifadeleri kısaca açıklamaya çalışalım. Mesela F(x,y)=(x²+y²,x³y-y+1) iki boyutta polinomsal bir fonksiyon örneğidir. Jacobi dediğimiz sayı ise böyle bir fonksiyonun türevinin determinantına eşittir. Geometrik olarak Jacobi bir noktada o fonksiyonun birim hacmi ne kadar değişime uğrattığını söyler bize. F’nin tersinir olması da bir G fonksiyonun var olması ve her

için F(G(x))=G(F(x)) eşitliklerinin sağlanması demektir. Başka bir deyişle F bire bir ve örtendir. Yapay zekanın bulduğu örnek şu şekilde:

F(x,y,z)=((1+xy)³z + y²(1+xy)(4+3xy),y + 3x(1+xy)²z + 3xy²(4+3xy), 2x-3x²y-x³z)

Uzun bir hesap sonucunda det D F = -2 olduğu, yani Jacobi’nin sıfır olmayan bir sabit olduğu, gösterilebilir. Ayrıca

F(0,0,-1/4) = F(1,-3/2,13/2) = F(-1,3/2,13/2) = (-1/4,0,0) 

eşitlikleri sağlanır; dolayısıyla F bire bir değildir. Böylece n=3’te 7. dereceden bir karşı örnek bulunarak sanının doğru olmadığı gösterilmiş olur. Sanı iki boyutta hâlâ açıkken bir boyutta doğru olduğunu göstermek kolaydır.

Jacobinin 0 olmaması lokal tersinirliğe denktir. Ayrıca cebirin temel teoremi de Jacobi’nin 0 olmaması durumunda sabit olması gerektiğini söyler. Dolayısıyla sanıdaki varsayım lokal tersinirlikle değiştirilebilir. Bu açıdan baktığımızda önerme; n değişkenli, lokal olarak tersinir bir polinomsal fonksiyonun global olarak da tersinir olduğunu iddia ediyor. Matematikte lokal datadan global sonuçlar çıkarmak her zaman değerli olmuştur çünkü genellikle objelerin lokal özelliklerini öğrenmek daha kolaydır.

Ayrıca daha birkaç sene önce çocuk bilmecelerine şaşırıp komik cevaplar veren LLM modellerinin şu anda uzun yıllardır cevabı bilinmeyen problemleri çözmesi, kanıtlar yapması oldukça şaşırtıcı. Bu durum yakın gelecekte de beklemediğimiz, heyecan verici sonuçlarla sık sık karşılaşacağımızı göstermekte.